Question

设曲线y＝x²＋x＋1－ln x在x＝1处的切线为l，数列{a_n}中，a₁＝1，且点(a_n，a_n＋1)在切线l上．
(1)求证：数列{1＋a_n}是等比数列，并求a_n；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

Answer 1

(1)由y＝x²＋x＋1－ln x，知x＝1时，y＝3.
又y′|_x＝1＝2x＋1－|_x＝1＝2，
∴切线l的方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
∵点(a_n，a_n＋1)在切线l上，
∴a_n＋1＝2a_n＋1,1＋a_n＋1＝2(1＋a_n)．
又a₁＝1，∴数列{1＋a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴1＋a_n＝2·2^n－1，即a_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)．
(2)S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝(2¹－1)＋(2²－1)＋…＋(2ⁿ－1)
＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n＝2^n＋1－2－n.

略