Question

10．已知点A（1，a），圆x²+y²=4．
（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x²+y²=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出a．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；
（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$，可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出a的值．

解答 解：（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故1²+a²=4，∴a=±$\sqrt{3}$．
当a=$\sqrt{3}$时，A（1，$\sqrt{3}$），切线方程为x+$\sqrt{3}$y-4=0；
当a=-$\sqrt{3}$时，A（1，-$\sqrt{3}$），切线方程为x-$\sqrt{3}$y-4=0，
∴a=$\sqrt{3}$时，切线方程为x+$\sqrt{3}$y-4=0，
a=-$\sqrt{3}$时，切线方程为x-$\sqrt{3}$y-4=0．
（2）设直线方程为 x+y=b，
由于直线过点A，∴1+a=b，a=b-1．
又圆心到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
∴（$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4．
∴b=±$\sqrt{2}$．∴a=±$\sqrt{2}$-1．

点评 本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．