Question

己知直线l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

．曲线C1：

x=cosθ y=sinθ

，（θ为参数）．
（I）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的

1

2

倍，纵坐标压缩为原来的

3

2

倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）把参数方程化为普通方程，联立方程组求得点A、B的坐标，可得|AB|的值．
（Ⅱ）由题意求得曲线C₂的参数方程，设点P（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），求得点P到直线l的距离d=

3

4

[

2

sin（θ-

π

4

）+2]，再根据正弦函数的值域，求得d的最小值．

解答： 解：（I）直线l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

 的普通方程为y=

3

（x-1）；
曲线C1：

x=cosθ y=sinθ

，（θ为参数）的直角坐标方程为 x²+y²=1．
由

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，求得

x=1 y=0

，或

x= 1 2 y=- 3 2

，∴A（1，0）、B（

1

2

，-

3

2

）．
∴AB=

(1- 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=1．
（Ⅱ）由题意可得曲线C₂的参数方程为

x= 1 2 cosθ y= 3 2 sinθ

（θ为参数），
设点P（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），则点P到直线l的距离d=

| 3 2 cosθ- 3 2 sinθ- 3 |

2

=

3

4

[

2

sin（θ-

π

4

）+2]，
故当sin（θ-

π

4

）=-1时，d取得最小值为

6

4

（

2

-1）．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题