Question

【题目】已知抛物线上一点到焦点F的距离为.

（1）求抛物线M的方程；

（2）过点F斜率为k的直线l与M相交于C，D两点，线段的垂直平分线与M相交于两点，点分别为线段和的中点.

①试用k表示点的坐标；

②若以线段为直径的圆过点C，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②，或

【解析】

（1）根据题意可得且，解得，进而得出抛物线方程．

（2）①点的坐标为，写出直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程得，设，，，，则由韦达定理得，，进而得中点的坐标，再写出线段垂直平分线的方程：，联立它与抛物线方程，同理得线段中点的坐标．

②根据题意得，，在中，由勾股定理得，即，分别由抛物线定义，弦长公式，两点之间得距离公式表示，，，代入化简解得，进而得直线的方程．

解：（1）根据抛物线的定义和已知条件，得，故，

由点Q在M上，可知，把代入，得.

所以抛物线M的方程为：.

（2）①由（1）可知点F的坐标为，所以直线l的方程为：.

联立消去y得，

设，则，所以，

所以线段中点.

因为过点E且与l垂直，所以的方程为：

联立消去y，得，显然成立.

设，则，所以，

所以线段中点

②因为以线段为直径的圆过点C，所以，

在中，，

即.

根据抛物线定义，得，

又

，

，

所以，由，

得，

解方程得，所以直线l的方程为，或.