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    3．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
    一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上
    顾客数（人）x3025y10
    结算时间（分钟/人）11.522.53
    已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
    （1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
    （2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率．（注：将频率视为概率）

    分析 （1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，从而x=15，y=20．收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，能求出X的分布列和数学期望．
    （2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，由于顾客的结算相互独立，能求出该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率．

    解答 解：（1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，
    所以x=15，y=20．
    该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，
    所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，
    将频率视为概率得$p（X=1）=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}，p（X=1.5）=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}，p（X=2）=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$，
    $p（X=2.5）=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}，p（X=3）=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$．
    故X的分布为：

      X11.522.53
    P$\frac{3}{20}$$\frac{3}{10}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{5}$$\frac{1}{10}$
    X的数学期望为$E（X）=1×\frac{3}{20}+1.5×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+2.5×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}=1.9$．
    （2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”，
    Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，
    则由于顾客的结算相互独立得
    P（A）=P（X1=1）×P（X2=1）+P（X1=1）×P（X2=1.5）+P（X1=1.5）×P（X2=1）+P（X1=1）×P（X2=2）+P（X1=2）×P（X2=1）+P（X1=1.5）×P（X2=1.5）
    =$\frac{3}{20}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{3}{10}+\frac{3}{10}×\frac{3}{20}+\frac{1}{4}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{1}{4}+\frac{3}{10}×\frac{3}{10}=\frac{111}{400}$．
    故该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率为$\frac{111}{400}$．

    点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，涉及到平均数、方差、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

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    男女总计
    爱好402060
    不爱好203050
    总计6050110
    其中${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
    附表
    P（K2≥k）0.0500.0100.001
    k3，8416.63510.828
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