Question

8．已知不等式9ax+8≥$\frac{36x}{2{x}^{2}+1}$+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{8}{9}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{8}{9}$）
• C． [$\frac{8}{9}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{8}{9}$]

Answer 1

分析 由题意可得a≥$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$对x≥$\frac{1}{2}$恒成立，由f（x）=$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$，求得导数，判断符号，得到单调性，可得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：由9ax+8≥$\frac{36x}{2{x}^{2}+1}$，可得
a≥$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$对x≥$\frac{1}{2}$恒成立，
由f（x）=$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$的导数为
f′（x）=-$\frac{16x}{（2{x}^{2}+1）^{2}}$+$\frac{8}{9{x}^{2}}$，
由8（2x²+1）²-144x³=0，
可得在x≥$\frac{1}{2}$时，解得x=$\frac{1}{2}$，
x≥$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，即f（x）递减，
可得f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，且为$\frac{8}{3}$-$\frac{16}{9}$=$\frac{8}{9}$，
即有a≥$\frac{8}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数判断单调性，求得最大值，是解题的关键，属于中档题．