Question

14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，P是三角形内部一点，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，则tanα的值等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 可得△ABP∽△BCP⇒$\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$，即AP=$\sqrt{2}PB$，PC=$\frac{1}{\sqrt{2}}PB$，由∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB=∠CAP，∠CPA=90°，tan$α=tan∠CAP=\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}PB×\frac{1}{\sqrt{2}PB}=\frac{1}{2}$．

解答 解：在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，
∴∠CBP=∠PAC，⇒△ABP∽△BCP⇒$\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$
∴AP=$\sqrt{2}PB$，PC=$\frac{1}{\sqrt{2}}PB$，
∵∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB=∠CAP，∴∠ACP+∠CAP=90°，∴∠APC=90°
tan$α=tan∠CAP=\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}PB×\frac{1}{\sqrt{2}PB}=\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了解三角形，考查了转化思想，属于中档题，