Question

2．在四边形ABCD中，点E在BC上，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，AD：AC：CD=1：2：$\sqrt{3}$．
（1）求∠BAC；
（2）若AB=1，BE=3EC，AE平分∠BAC，求AE．

Answer 1

分析 （1）设AD=k，则AC=2k，CD=$\sqrt{3}k$，利用余弦定理求出$∠CAD=\frac{π}{3}$，由此能求出∠BAC．
（2）设∠AEB=β，EC=m，则∠AEC=π-β，BE=3m，利用正弦定理求出AC=$\frac{1}{3}$，由此利用余弦定理能求出AE．

解答 解：（1）设AD=k，则AC=2k，CD=$\sqrt{3}k$，
在△ACD中，cos∠CAD=$\frac{{k}^{2}+（2k）^{2}-（\sqrt{3}k）^{2}}{2•k•2k}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠CAD∈（0，π），∴$∠CAD=\frac{π}{3}$，
∴∠BAC=$∠BAD-∠CAD=\frac{π}{3}$．
（2）设∠AEB=β，EC=m，
则∠AEC=π-β，BE=3m，
在△AEB中，$\frac{m}{sin\frac{π}{6}}=\frac{AC}{sin（π-β）}$，①
在△ABE中，$\frac{3m}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{sinβ}$，②
由①②，得AC=$\frac{1}{3}$，
在△ABC中，BE²=AB²=AB²+AE²-2AB$•AE•cos\frac{π}{6}$，
∴$\frac{7}{16}=1+A{E}^{2}-AE•\sqrt{3}$，解得AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$或AE=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵cos∠ACB=$\frac{B{C}^{2}+C{A}^{2}-A{B}^{2}}{2•BC•CA}$=$\frac{\frac{7}{9}+\frac{1}{9}-1}{2×\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{1}{3}}$＜0，
∴$∠ACB＞\frac{π}{2}$，∴B＜$\frac{π}{6}$=∠BAE，
∴BE＞AE，∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．