Question

10．如图，ABCD是边长为$2\sqrt{3}$的正方形，点E，F分别是边BC，CD的中点，将△ABE，△CEF，△ADF分别沿AE，EF，FA折起，使得B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球的球面上，则该球的表面积是（　　）

• A． 6π
• B． 12π
• C． 18π
• D． $9\sqrt{2}π$

Answer 1

分析 由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2$\sqrt{3}$，PE=PF=$\sqrt{3}$，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．

解答 解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，
将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，
∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2$\sqrt{3}$，PE=PF=$\sqrt{3}$，
以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，
则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，
∴这个球的半径为R=$\frac{\sqrt{3+3+12}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴该球的表面积是S=4πR²=4π×$\frac{9}{2}$=18π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四面体的性质及构造法的合理应用．