Question

10．如图（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=8，AD=CD=4，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图（b）所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD； 
（2）求几何体D-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥BC，利用平面与平面垂直的性质定理，证明BC⊥平面ACD．
（2）由（1）可知，BC为三棱锥B-ACD的高，求出BC，S_△ACD，即可求解V_B-ACD，由等体积性可知，求解几何体D-ABC的体积．

解答 解：（1）证明：在图中，可得AC=BC=4$\sqrt{2}$，从而AC²+BC²=AB²，
故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD…（6分）
（2）解：由（1）可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC=4$\sqrt{2}$，S_△ACD=8，
∴V_B-ACD=$\frac{1}{3}$S_△ACD•BC=$\frac{1}{3}$×8×4$\sqrt{2}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$，
由等体积性可知，几何体D-ABC的体积为$\frac{32\sqrt{2}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．