Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{{{a_{2017}}}}$=（　　）

• A． $\frac{4032}{2016}$
• B． $\frac{4034}{2017}$
• C． $\frac{4032}{2018}$
• D． $\frac{4034}{2018}$

Answer 1

分析 推导出a_n+1-a_n=1+n，从而利用累加法得an=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而有$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂项求和法能求出$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{{{a_{2017}}}}$的值．

解答 解：因为a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n∈N^*都成立
所以a_n+1=a_n+a₁+n=1+n
即a_n+1-a_n=1+n
所以a₂-a₁=2
   a₃-a₂=3
…
   a_n-a_n-1=n
把上面n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
从而有$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{{{a_{2017}}}}$
=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$）
=$\frac{4034}{2018}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．