Question

9．已知函数f（x）=|2x-1|-x，
（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；
（2）写出该函数的值域、单调区间（不要求证明）；
（3）若对任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法，可将函数解析式化为分段函数，进而结合一次函数的图象和性质，得到函数的图象；
（2）数形结合，可得函数的值域、单调区间；
（3）若对任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，则a≤|2x-1|-x的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}-3x+1，x＜\frac{1}{2}\\ x-1，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
函数的图象如下图所示：

（2）由图可得：函数的值域为：[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
单调减区间为：为：（-∞，$\frac{1}{2}$]，单调增区间为：[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（3）若对任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，
则a≤|2x-1|-x恒成立，
即a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，函数的单调性，函数的值域，函数恒成立问题，难度中档．