Question

18．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是4^a与2^b的等比中项，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 $\sqrt{2}$是4^a与2^b的等比中项，可得4^a×2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$，即2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{2}$是4^a与2^b的等比中项，
∴4^a×2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$=2．
∴2a+b=1．又a＞0，b＞0．
$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了等比中项、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．