Question

5．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a•$\overrightarrow{GA}$+b•$\overrightarrow{GB}$+c•$\overrightarrow{GC}$=0，则G是△ABC中的（　　）

• A． 内心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AG}$，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上．

解答 解：∵a•$\overrightarrow{GA}$+b•$\overrightarrow{GB}$+c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴a$\overrightarrow{GA}$+b（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AG}$）+c（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AG}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴（a+b+c）$\overrightarrow{AG}$=b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{AG}$=$\frac{b}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$=$\frac{bc}{a+b+c}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{bc}{a+b+c}•\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴G在∠BAC的角平分线上，
同理可得：G在∠ABC的角平分线上，
∴G是△ABC的内心．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，平面向量的基本运算，同时考查转化思想，属于中档题．