Question

3．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（2）若锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{2}，a=2$，$b=\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式即可得出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，从而便可求出f（x）的最大值及取最大值时x的集合；
（2）根据$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{2}$及A为锐角即可求出A=$\frac{π}{4}$，进而根据正弦定理即可求出sinB，从而得出B的值，这样根据sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB即可求出sinC，最后根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
∴$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，即x=$\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z时，f（x）取最大值$\sqrt{2}$；
∴f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，取最大值时x的集合为$\{x|x=\frac{π}{8}+kπ，k∈Z\}$；
（2）$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$；
∴$sin（A+\frac{π}{4}）=1$；
又A为锐角；
∴$A+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{4}$；
∴在△ABC中，A=$\frac{π}{4}$，$a=2，b=\sqrt{6}$，由正弦定理得：$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{sinB}$；
∴$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$B=\frac{π}{3}$；
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$
=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$．

点评 考查二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的最大值，以及对应的x的取值，已知三角函数值求角，正弦定理，三角形面积公式．