Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（Ⅰ）若b²=ac，判断△ABC的形状．
（Ⅱ）求cos（A+C）+$\sqrt{3}$sinB的取值范围．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知，利用三角函数恒等变换的应用可得sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得a+c-2b=0，可得a，b，c三边成等差数列，又a，b，c三边成等比数列，从而a，b，c为常数列，可得△ABC为等边三角形．
（Ⅱ）由余弦定理结合（Ⅰ）得a+c=2b，可得$\frac{3（a+c）^{2}}{4}$=2ac（1+cosB），结合基本不等式可得2ac（1+cosB）≥3ac，利用三角函数恒等变换的应用可得cos（A+C）+$\sqrt{3}$sinB=2sin（B-$\frac{π}{6}$），由B∈（0，$\frac{π}{3}$]，可得B-$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的性质可求cos（A+C）+$\sqrt{3}$sinB的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
即sinA$\frac{1+cosC}{2}$+sinC$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
所以：sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
因为sin（A+C）=sinB，
所以sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得a+c-2b=0，
∴a，b，c三边成等差数列，
又b²=ac，
∴a，b，c三边成等比数列，从而a，b，c为常数列，
∴△ABC为等边三角形．
（Ⅱ）由余弦定理有b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），
由（Ⅰ）得a+c=2b，
所以    $\frac{（a+c）^{2}}{4}$=（a+c）²-2ac（1+cosB），
即：$\frac{3（a+c）^{2}}{4}$=2ac（1+cosB），又a+c≥2$\sqrt{ac}$，
∴2ac（1+cosB）≥3ac，
∴cosB$≥\frac{1}{2}$，从而B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
cos（A+C）+$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{3}$sinB-cosB=2sin（B-$\frac{π}{6}$），
∵0$＜B≤\frac{π}{3}$，可得：-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$≤-$\frac{π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（B-$\frac{π}{6}$）$≤\frac{1}{2}$，可得：-1＜2sin（B-$\frac{π}{6}$）≤1，
即cos（A+C）+$\sqrt{3}$sinB的取值范围（-1，1]．

点评 本题主要考查的考点有：1．三角变换；2．正弦定理，余弦定理；3．基本不等式；4．三角函数在给定区间上的值域问题，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．