Question

如图，边长为2的正三角形ABC的两个顶点A，B分别在x，y轴的正半轴上滑动，

AM

=2

MB

，求

OM

•

OC

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设∠OAB=θ，θ∈(0，

π

2

)．可得A（2cosθ，0），B（0，2sinθ），C（2sin（30°+θ），2sin（60°+θ））．利用

AM

=2

MB

，可得

AM

=

2

3

AB

，

OM

=(

2

3

cosθ，

4

3

sinθ)．
于是

OM

•

OC

=

4

3

cosθsin(30°+θ)+

8

3

sinθsin(60°+θ)展开化简即可得出．

解答： 解：设∠OAB=θ，θ∈(0，

π

2

)．
则A（2cosθ，0），B（0，2sinθ），C（2cosθ-2cos（60°+θ），2sin（60°+θ））即（2sin（30°+θ），2sin（60°+θ））．
∵

AM

=2

MB

，∴

AM

=

2

3

AB

，
∴

OM

=

OA

+

2

3

(

OB

-

OA

)=

1

3

OA

+

2

3

OB

=(

2

3

cosθ，

4

3

sinθ)．
∴

OM

•

OC

=

4

3

cosθsin(30°+θ)+

8

3

sinθsin(60°+θ)
=

3

sin2θ-

1

3

cos2θ+1
=

2 7

3

sin(2θ-φ)+1≤

2 7

3

+1，当且仅当sin（2θ-φ）=1时去等号．
故最大值为：1+

2 7

3

．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、三角函数的化简、正弦函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．