Question

（本题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，

BD交AC于点E，F是PC中点，G为EC中点．

（1）求证：FG//平面PBD；

（2）当二面角B—PC—D的大小为时，求FG与平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 连接PE，G.、F为EC和PC的中点，由线面平行的判定定理，即可证明结果.（2）以AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴，建立如图空间直角坐标系，设AB=1，AP=t ，即可求出平面BPC的一个法向量为，平面DPC的一个法向量为，根据二面角B—PC—D的大小为，可得｜｜=｜｜=，即可解得，即可求出FG与平面PCD所成角的正弦值．

试题解析：（1） 连接PE，G.、F为EC和PC的中点， FG//平面PBD （5分）

（2）以AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴，建立如图空间直角坐标系。

设AB=1，AP=t 则,, （7分）

∴ ∴平面BPC的一个法向量为

又∴平面DPC的一个法向量为 （9分）

二面角B—PC—D的大小为，∴｜｜=｜｜=

∴ （11分）

∴ ∴FG与平面PCD所成角的正弦值， （13分）

∴ （14分）

考点：1.线面平行的判断；2.二面角的应用．