Question

已知函数f（x）=x²+1，g（x）=f[f（x）]，设G（x）=g（x）-λf（x），且G（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，0）上为增函数，则实数λ=

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：令t=x²+1，则G（x）=t²-λt+1，当t在（2，+∞）内为减函数，在（0，2）内为增函数．要满足此种情况，对称轴x=

λ

2

=2，由此求得入的值．

解答： 解：令t=x²+1，则g（x）=f[f（x）]=t²+1，G（x）=t²-λt+1
当x的范围在（-∞，-1〕和（-1，0）内时，t的范围相应为（2，+∞）和（0，2），
所以，当t在（2，+∞）内为减函数，在（0，2）内为增函数．
要满足此种情况，对称轴x=

λ

2

=2，
所以入=4，
故答案为：4．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．