Question

直线x=1与抛物线C：y²=4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），其中O为抛物线C的顶点．
（1）当

OP

与

ON

平行时，b=

 

；
（2）给出下列命题：
①?a，b∈R，△PMN不是等边三角形；
②?a＜0且b＜0，使得

OP

与

ON

垂直；
③无论点P在准线上如何运动，a+b=-1总成立．
其中，所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：向量与圆锥曲线

分析：根据题意画出抛物线y²=4x，和直线x=1，准线x=-1，连接OP，OM，ON，根据

OP

与

ON

平行，求出P的坐标，再求

OP

=a

OM

+b

ON

，求出a，b；对（2）的①假设△PMN是等边三角形，看能否推出矛盾；对②若

OP

与

ON

垂直，求出a，b；对③根据

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），运用坐标求出a，b的关系式．

解答： 解：由

x=1 y2=4x

求出点M（1，2），N（1，-2），从而

OM

=(1，2)，

ON

=(1，-2)，设P（-1，t），

OP

=(-1，t)，
（1）当

OP

与

ON

平行时，t=2，因为

OP

=a

OM

+b

ON

，
所以

a+b=-1 2a-2b=2

解得

a=0 b=-1

，故答案为：-1；
（2）①若△PMN是等边三角形，则因为MN垂直于x轴，
所以P在x轴上，且在x=-1上，故P（-1，0），但这不满足PM=MN，所以不存在三角形PMN是等边三角形，故①对；
对②，因为

OP

⊥

ON

?-1-2t=0?t=-

1

2

，
所以由

OP

=a

OM

+b

ON

得

a+b=-1 a-b=- 1 4

解得

a=- 5 8 b=- 3 8

，故②对；
对③，由上面可知显然正确，故③对．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查向量与抛物线的知识，考查准线方程和向量共线、垂直的条件以及简单的坐标运算．