Question

已知向量

a

=（1，x），

b

=（x²+x，-x），
（1）已知常数m满足-2≤m≤2，求使不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m成立的x的解集；
（2）求使不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m对于一切x＞0恒成立的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）求出

a

•

b

=x，将

a

•

b

≥-

1

a • b

+m?

x2-mx+1

x

≥0，由m的范围，推出x²-mx+1≥0恒成立，从而得到x的解集；
（2）由（1）可知原不等式等价为x+

1

x

≥m对x＞0恒成立，运用基本不等式，求出x+

1

x

的最小值2，则可得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（1，x），

b

=（x²+x，-x），
∴

a

•

b

=x²+x-x²=x，
∴

a

•

b

≥-

1

a • b

+m?x+

1

x

≥m?

x2-mx+1

x

≥0，
∵常数m满足-2≤m≤2，∴△=m²-4≤0，即x²-mx+1≥0恒成立，
∴

x2-mx+1

x

≥0?x＞0，
∴不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m成立的x的解集为（0，+∞）；
（2）不等式

a

•

b

≥-

1

a • b

+m对于一切x＞0恒成立，
由（1）得，即x+

1

x

≥m对x＞0恒成立，
∵x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时，取最小值2，
∴m≤2，
故所求实数m的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，以及不等式的解法，基本不等式的运用，属于中档题．