Question

16．某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角梯形，则该多面体的表面积为10+$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$，体积为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算面积和体积．

解答 解由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，如图：
其中AC⊥平面CDE，BD⊥平面CDE，侧面CDE是等边三角形，BD=CD=2，AC=3．
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}=2\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{13}$，AB=$\sqrt{C{D}^{2}+（AC-BD）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴AB²+BE²=AE²，∴AB⊥BE．
取CD中点F，连结EF，则EF⊥底面ABCD．EF=$\sqrt{3}$．
∴几何体的表面积S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×（2+3）×2$+$\frac{1}{2}×2×2$+$\frac{1}{2}×2×3$+$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}$=10+$\sqrt{3}+\sqrt{10}$
∴几何体的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（2+3）×2×$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
故答案为10+$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了棱锥的三视图和面积，体积计算，属于中档题．