Question

11．已知a_n=n，b_n=n+1，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由：$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n．

解答 解：由：$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列前n项和的求法，考查“裂项法”求数列前n项和的应用，考查计算能力，属于中档题．