Question

13．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC．M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$，现用基向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OG}$，并设$\overrightarrow{OG}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，则x+y+z=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 结合图形，由M、N是OM、BC的中点，用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$，
从而得出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MG}$，即可得出$\overrightarrow{OG}$．

解答 解：如图所示，
连接ON，∵M、N是OM、BC的中点，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，
又∵$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）；
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴x+y+z=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了空间向量的线性表示的应用问题，解题时应类比平面向量的线性运算，是基础题目．