Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{2π}{3}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为-$\frac{3}{2}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）通过数量积，即模的运算再利用两角和公式和二倍角公式化简整理即可；
（2）先求出函数f（x）的表达式，再根据x的范围，进而利用二次的单调性求得函数的最值，问题得以解决．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cosx，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3}{2}$x+sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cosx=4cos²$\frac{x}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]．
∴cos$\frac{x}{2}$＞0，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cos$\frac{x}{2}$；
（2）由（1）有f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cosx-4λcos$\frac{x}{2}$=2cos²$\frac{x}{2}$-4λcos$\frac{x}{2}$-1=2（cos$\frac{x}{2}$-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴$\frac{x}{2}$∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴cos$\frac{x}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
当λ＜$\frac{1}{2}$时，当且仅当cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$时，f_min（x）=2×$\frac{1}{4}$-4λ×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$（舍）；
当$\frac{1}{2}$≤λ≤1时，当且仅当cos$\frac{x}{2}$=λ时，f_min（x）=-1-2λ²=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$-\frac{1}{2}$（舍）；
当λ＞1时，当且仅当cos$\frac{x}{2}$=1时，f_min（x）=2-4λ-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$（舍）；
综上所述，λ=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的最值，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累，属于中档题．