Question

19．已知n∈N^*，k∈N^*，k≤n．求证：
（1）（k+1）C${\;}_{n+1}^{k+1}$=（n+1）C${\;}_{n}^{k}$；
（2）C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）由n∈N^*，k∈N^*，k≤n．利用组合数的计算公式可得（k+1）C${\;}_{n+1}^{k+1}$=（k+1）×$\frac{（n+1）!}{（k+1）!（n-k）!}$=$\frac{（n+1）•n!}{k!（n-k）!}$，即可证明．
（2）由（1）可知：$\frac{1}{k+1}{C}_{n}^{k}$=$\frac{1}{n+1}$${∁}_{n+1}^{k+1}$，再利用二项式定理的性质即可得出．

解答 证明：（1）∵n∈N^*，k∈N^*，k≤n．
（k+1）C${\;}_{n+1}^{k+1}$=（k+1）×$\frac{（n+1）!}{（k+1）!（n-k）!}$=$\frac{（n+1）•n!}{k!（n-k）!}$=（n+1）C${\;}_{n}^{k}$．
（2）C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{n+1}$．
（2）由（1）可知：$\frac{1}{k+1}{C}_{n}^{k}$=$\frac{1}{n+1}$${∁}_{n+1}^{k+1}$，
令k=0，1，2，3，…，n，得：C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$=$\frac{1}{n+1}$（${∁}_{n+1}^{1}$+${∁}_{n+1}^{2}$+…+${∁}_{n+1}^{n+1}$）=$\frac{1}{n+1}$[（1+1）ⁿ⁺¹-1]=
$\frac{{2}^{n+1}-1}{n+1}$．
∴原式得证．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．