【题目】函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且
.
(1)确定函数的解析式;
(2)证明函数f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
【答案】
(1)解:因为f(x)为(﹣1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,即b=0.
又f( )=
,所以
=
,解得a=1.
所以f(x)=
(2)解:任取﹣1<x1<x2<1,
则f(x1)﹣f(x2)= ﹣
=
,
因为﹣1<x1<x2<1,所以x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,
所以f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在(﹣1,1)上是增函数
(3)解:f(t﹣1)+f(t)<0可化为f(t﹣1)<﹣f(t).
又f(x)为奇函数,所以f(t﹣1)<f(﹣t),
f(x)为(﹣1,1)上的增函数,所以t﹣1<﹣t①,且﹣1<t﹣1<1②,﹣1<t<1③;
联立①②③解得,0<t< .
所以不等式f(t﹣1)+f(t)<0的解集为
【解析】(1)根据奇函数性质有f(0)=0,可求出b,由 可求得a值.(2)根据函数单调性的定义即可证明;(3)根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可.
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【题目】设函数f(x)= ,记f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N* , 那么下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=0
B.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=0
C.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=1
D.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=1
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点P(1,
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过坐标原点O的两条直线EF,MN分别与椭圆C交于E,F,M,N四点,且直线OE,OM的斜率之积为﹣ ,求证:四边形EMFN的面积为定值.
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【题目】设椭圆的左顶点为
,且椭圆
与直线
相切,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的动直线与椭圆
交于
两点,设
为坐标原点,是否存在常数
,使得
?请说明理由.
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【题目】给出下列说法:
①集合A={x∈Z|x=2k﹣1,k∈Z}与集合B={x∈z|x=2k+3,k∈Z}是相等集合;
②若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4];
③函数y= 的单调减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞);
④不存在实数m,使f(x)=x2+mx+1为奇函数;
⑤若f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则 +
+…+
=2016.
其中正确说法的序号是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③⑤
D.①④⑤
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