Question

已知函数f（x）=

-x2+2ax+4-a2 (a-2≤x≤a+2) x2-2ax+a2-4(x＜a-2或x＞a+2)

，g（x）=2x．若函数y=f（x）-g（x）恰有3个零点，则实a的值是（　　）

• A、2
• B、-2
• C、-

  5

  或2
• D、

  5

  或2

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
由f（x）=0，得x²-2ax+a²-4=0，解得x=a-2或x=a+2，即函数f（x）的零点为x=a-2或x=a+2，
作出f（x）的图象，
若a-2=0，解得a=2，此时，函数f（x）和g（x）的图象有3个交点，即函数y=f（x）-g（x）恰有3个零点，满足条件，
若a+2=0，解得a=-2，函数f（x）和g（x）的图象有1个交点，即函数y=f（x）-g（x）恰有1个零点，不满足条件．
若a≠2且a≠-2，要使函数f（x）和g（x）的图象有3个交点，
则y=2x与f（x）=

-x2+2ax+4-a2

相切，
由

-x2+2ax+4-a2

=2x，平方整理得5x²-2ax+a²-4=0，
在判别式△=4a²-4×5（a²-4）=0，
即a²=5，解得a=

5

或a=-

5

（不成立），
综上a=

5

或2，
故选：C

点评：本题主要考查函数零点的应用，讨论a的取值范围，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．