Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，
f（x）=cos

πx

2

，则以下正确命题的序号是

 

①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③f（x）的最大值是1，最小值是0；
④f（x）的一个对称中心是（5，0）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由偶函数的定义得，f（-x）=f（x），再由对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），得到函数的周期为2，从而得到f（2+x）=f（-x），可判断①；由当x∈[0，1]时，f（x）=cos

πx

2

，和周期为2，及对称性，可判断②；由单调性即可判断③；由对称性，可判断④．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），
∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是以2为最小正周期的函数，
∴f（2+x）=f（-x），即f（1-x）=f（1+x），故①对；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=cos

πx

2

，∴[0，1]为减区间，f（0）最大为1，f（1）最小为0．
由f（x）的图象关于x=1对称，得[1，2]为增区间，由周期得，[2，3]为减区间，故②错；
故f（x）的最大为1，最小为0，即③对；
当x=5时，f（5）=f（1）=0，x=5为对称轴，（5，0）不为对称中心，故④错．
故答案为：①③．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性和应用，属于中档题．