Question

若函数（为实常数）.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设.
①求函数的单调区间；
②若函数的定义域为，求函数的最小值.

Answer 1

（1）；（2）①单调增区间为；单调减区间为，②

试题分析：（1）当时，，先求导，再求出函数在处的导数即所求切线的斜率，就可写出直线的点斜式方程；（2）①分类讨论去掉绝对值，将函数化为分段函数，在不同取值范围内，分别求导判断函数的单调性，②由函数的定义域去判断的取值范围，再结合①的结果，对函数进行分类讨论，分别求出各种情况下的最小值，即得.
试题解析：（1）当时，，，，  2分
又当时，，函数在处的切线方程；   4分
（2）因为，
①当时，恒成立，所以时，函数为增函数； 7分
当时，，令，得，
令，得，
所以函数的单调增区间为；单调减区间为;10分
②当时，，因为的定义域为,以或11分（ⅰ）当时，，所以函数在上单调递增，则的最大值为，
所以在区间上的最小值为；            13分
（ⅱ）当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，所以在区间上的最小值为；14分
（ⅲ）当时，，所以函数在上单调递增，则的最大值为，所以在区间上的最小值为.
综上所述，                        16分