Question

10．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．

解答 解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{p}{2}=\frac{2p}{3}{t}^{2}-\frac{p}{6}}\\{y=\frac{2pt}{3}}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{2p}{3}{t}^{2}+\frac{p}{3}$，y=$\frac{2pt}{3}$，
∴k_OM=$\frac{2t}{2{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{t+\frac{1}{2t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当t=$\frac{1}{2t}$时取等号，
∴直线OM的斜率的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．