Question

已知数列{a_n}中，其中a₁=1，且当n≥2，a_n=

an-1

2an-1+1

，求通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用递推思想求出数列的前四项，然后猜想数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明．

解答： 解：∵数列{a_n}中，其中a₁=1，且当n≥2，a_n=

an-1

2an-1+1

，
∴a2=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1 3

2× 1 3 +1

=

1

5

，
a₄=

1 5

2× 1 5 +1

=

1

7

，
由此猜想a_n=

1

2n-1

，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，成立；
②假设当n=k时，成立，即ak=

1

2k-1

，
则当n=k+1时，a_k+1=

1 2k-1

2× 1 2k-1 +1

=

1

2(k+1)-1

，成立，
故a_n=

1

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意数学归纳法的合理运用．