Question

（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和椭圆过的定点，列出方程组，解出a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过已知条件先得到圆心和半径，从而先设出圆的方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再构造三角形解出t，即得到了圆的方程；第三问，可以利用直线的参数方程，利用两点间距离公式证明等于定值，也可以利用向量法证明.

试题解析：（1）由题意得 ①

因为椭圆经过点，所以 ②

又 ③

由①②③解得，．

所以椭圆的方程为． 4分

（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，

故圆的方程为． 5分

因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，

所以圆心到直线的距离． 7分

所以，即，

故，或，

解得，或．

又，故．

所求圆的方程为． 9分

（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．

直线的方程为，直线的方程为．

由，解得，故． 11分

；

． 12分

又.

．

所以线段的长为定值． 14分

方法二：设，则，，

，．

，． ． 11分

又，．

．

为定值． 14分

考点：椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的充要条件.