Question

11．设命题P：?x∈R，x²-2x＞a，命题Q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，a的取值范围（-2，-1）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出命题的等价条件，利用复合命题真假关系进行判断即可．

解答 解：x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
若：?x∈R，x²-2x＞a，则a＜-1，
若：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，
则判别式△=4a²-4（2-a）≥0，
即a²+a-2≥0，解得a≥1或a≤-2，
若“P或Q”为真，“P且Q”为假，
则P，Q一真一假，
若P真，Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，即-2＜a＜-1，
若P假，Q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，即a≥1，
故实数a的取值范围是（-2，-1）∪[1，+∞），
故答案为：（-2，-1）∪[1，+∞）

点评 本题主要考查复合命题的应用，根据函数性质求出命题P，Q的等价条件是解决本题的关键．