Question

已知函数f（x）=

e-x-3(x≤0) ax-2(x＞0)

（a为常数且a＞0），对于下列结论：
①函数f（x）的最小值为-2；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为（2，+∞）；
④当x≠0时，xf′（x）＞0（这里f′（x）是f（x）的导函数）．
其中正确的是（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考点：分段函数的应用,导数的运算

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）的图象，通过图象观察即可判断．

解答： 解：画出函数f（x）的图象，通过图象观察得到：
①函数f（x）的最小值为-2，故①正确；
②函数f（x）在R上不是单调函数，故②错；
③f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，则a-2＞0，
∴a＞2，故③正确；
④x＜0，f（x）为单调减函数；x＞0时，f（x）为增函数．故对一切非零实数x，xf′（x）＞0成立，故④正确；
故选：A．

点评：本题考查分段函数的图象及应用，考查函数的单调性以及导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于中档题．