Question

已知x＞0，y＞0，且x+y=4，则使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）

• A、[

  9

  4

  ，+∞）
• B、（-∞，

  9

  4

  ]
• C、[

  5

  4

  ，+∞）
• D、（-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

4

y

)min，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，x+y=4，
∴

1

x

+

4

y

=

1

4

(x+y)(

1

x

+

4

y

)=

1

4

(5+

y

x

+

4x

y

)≥

1

4

(5+2

y x • 4x y

)=

9

4

，当且仅当y=2x=

8

3

时取等号．
∴

1

x

+

4

y

的最小值为

9

4

．
不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

4

y

)min=

9

4

，
∴实数m的取值范围是(-∞，

9

4

]．
故选：B．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．