Question

15．已知△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，AC+$\sqrt{3}$BC=6，D为AB的中点，当CD取最小值时，△ABC面积为$\frac{3\sqrt{23}}{8}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理，结合二次函数的图象和性质，可得BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，CD的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由余弦定理求出cosB，进而求出sinB，代入三角形面积公式，可得答案

解答 解：∵AB=2$\sqrt{3}$，AC+$\sqrt{3}$BC=6，D为AB的中点，
根据余弦定理可得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，且CB²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠CDB，
即（6-$\sqrt{3}$BC）²=3+CD²-2$\sqrt{3}$CD•cos∠ADC，CB²=3+CD²-2$\sqrt{3}$•CD•cos∠CDB，
∵∠CDB=π-∠ADC，
∴（6-$\sqrt{3}$BC）²+CB²=6+2CD²-
∴CD²=2CB²-6$\sqrt{3}$BC+15=2（CB-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
当BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，CD的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此时cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2•BC•BD}$=$\frac{\frac{27}{4}+3-\frac{6}{4}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{11}{12}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{23}}{12}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{23}}{12}$=$\frac{3\sqrt{23}}{8}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{23}}{8}$．

点评 本题考查的知识点是余弦定理的应用，三角形面积公式，同角三角函数的基本关系，难度中档