Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点F，B分别是椭圆的右焦点与上顶点，O为坐标原点，记△OBF的周长与面积分别为C和S．
（Ⅰ）求$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值；
（Ⅱ）如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点，过点F作l的垂线，交直线x=3b于点R，当$\frac{C}{\sqrt{S}}$取最小值时，求$\frac{|FR|}{|PQ|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{C}{\sqrt{S}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{\frac{1}{2}bc}}=\sqrt{2}\frac{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{bc}}$≥$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}$=2+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=c时，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当b=c时，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值为2+2$\sqrt{2}$．此时椭圆方程可化为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$
依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为x=my+c．可得PQ=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}×\frac{\sqrt{8{c}^{2}（{m}^{2}+1）}}{2+{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}c×\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．设直线FR：y=-m（x-c），令x=3c得R（3c，-2mc）
|FR|=2c$\sqrt{{m}^{2}+1}$，$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$2c\sqrt{{m}^{2}+1}×\frac{{m}^{2}+2}{2\sqrt{2}c（{m}^{2}+1）}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}）$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）△OBF的周长C=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}+b+c$．△OBF的面积S=$\frac{1}{2}bc$．
$\frac{C}{\sqrt{S}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{\frac{1}{2}bc}}=\sqrt{2}\frac{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{bc}}$≥$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}$=2+2$\sqrt{2}$，
当且仅当b=c时，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值为2+2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当b=c时，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值为2+2$\sqrt{2}$．
此时椭圆方程可化为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$
依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为x=my+c．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2mcy-^_c2=0．
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2mc}{2+{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{c}^{2}}{2+{m}^{2}}$
PQ=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}×\frac{\sqrt{8{c}^{2}（{m}^{2}+1）}}{2+{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}c×\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．
当m=0时，PQ垂直横轴，FR与横轴重合，此时|PQ|=$\sqrt{2}$c，|FR|=3b-c=2c，
$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$\frac{2c}{\sqrt{2}c}=\sqrt{2}$．
当m≠0时，设直线FR：y=-m（x-c），令x=3c得R（3c，-2mc）
|FR|=2c$\sqrt{{m}^{2}+1}$
$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$2c\sqrt{{m}^{2}+1}×\frac{{m}^{2}+2}{2\sqrt{2}c（{m}^{2}+1）}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}）$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$
综上所述：当且仅当m=0时，$\frac{|FR|}{|PQ|}$取最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想、转化思想，属于中档题，