Question

13．设函数$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|，（a＞0）$．
（Ⅰ）证明：f（x）≥5；
（Ⅱ）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|≥|{（x+a+1）-（x-\frac{4}{a}）}|=|{a+1+\frac{4}{a}}|$≥5；
（Ⅱ）由f（1）＜6得$|{1-\frac{4}{a}}|＜4-a$，$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$，
分①当a≥4，②当a＜4 求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|≥|{（x+a+1）-（x-\frac{4}{a}）}|=|{a+1+\frac{4}{a}}|$
∵a＞0，∴$f（x）≥a+1+\frac{4}{a}≥2\sqrt{a•\frac{4}{a}}+1=5$…．（5分）
（Ⅱ）由f（1）＜6得：$|{a+2}|+|{1-\frac{4}{a}}|＜6$，
∵a＞0，∴$|{1-\frac{4}{a}}|＜4-a$，$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$…（7分）
①当a≥4时，不等式$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$无解；
②当a＜4时，不等式$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$，即$\frac{1}{a}＜1$，a＞1，
所以1＜a＜4…（9分）
综上，实数a的取值范围是（1，4）…（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，解绝对值不等式，属于中档题．