Question

8．如图所示的几何体是由棱台ABC-A₁B₁C₁和棱锥D-AA₁C₁C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C⊥平面BB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BB₁⊥平面ABCD，得BB₁⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BB₁D，进一步得到平面AB₁C⊥平面BB₁D；
（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A₁BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D，
∵AC?平面AB₁C，∴平面AB₁C⊥平面BB₁D；
（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则$B（0，-1，0），D（0，1，0），{B_1}（0，-1，2），A（\sqrt{3}，0，0）$，${A}_{1}（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$，${C_1}（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$，
∴$\overrightarrow{B{A_1}}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2）$，$\overrightarrow{BD}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{B{C_1}}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2）$．
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（-4，0，\sqrt{3}）$，
设平面DCF的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+2=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow m=（4，0，\sqrt{3}）$．
设二面角A₁-BD-C₁为θ，
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{\left|m\right.}•\left.{\overrightarrow n}\right|}}{|m||n|}=\frac{13}{19}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．