Question

19．如图，直线x+2y=a与圆x²+y²=1相交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{5-\sqrt{65}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{65}-5}{4}$
• C． $\frac{5-\sqrt{55}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{55}-5}{4}$

Answer 1

分析 分别利用勾股定理和距离公式求出O到直线AB的距离，列方程解出a即可．

解答 解：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos∠AOB=a，
∴AB=$\sqrt{1+1-2cos∠AOB}$=$\sqrt{2-2a}$，
∴O到直线AB的距离d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2-2a}}{2}）^{2}}$，
又d=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$，
∴$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2-2a}}{2}）^{2}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$，解得a=$\frac{5-\sqrt{65}}{4}$或a=$\frac{5+\sqrt{65}}{4}$＞1（舍）．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，直线与圆的位置关系，属于中档题．