Question

14．设函数f（x）=（x-a）²+（ln x²-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）≤b成立，则实数b的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 转化条件为：点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，利用导数转化求解直线与曲线之间最小的距离，通过存在x₀使得f（x₀）≤b，推出f（x）_min≤b，求解即可．

解答 解：函数f（x）可以看作动点P（x，ln x²）与点Q（a，2a）的距离的平方，点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得y′=$\frac{2}{x}$，令y′=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M（1，0），所以点M（1，0）到直线y=2x的距离d=$\frac{2}{\sqrt{22+（-1）2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$即为直线与曲线之间最小的距离，故f（x）_min=d²=$\frac{4}{5}$．
由于存在x₀使得f（x₀）≤b，则f（x）_min≤b，即b≥$\frac{4}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查转化思想的应用，曲线与方程的应用，函数的导数以及函数的最值的求法，难度比较大．