Question

3．实数x，y，a，b满足xy=2，a+2b=0，则（x-a）²+（y-b）²的最小值为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 化曲线xy=2为y=$\frac{2}{x}$，求其导函数，进一步求出与直线x+2y=0平行且与曲线相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解．

解答 解：由xy=2，得y=$\frac{2}{x}$，
则y′=$-\frac{2}{{x}^{2}}$，设与直线x+2y=0平行的直线与曲线y=$\frac{2}{x}$的切点为（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$），
则$y′{|}_{x={x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
由$-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}=-\frac{1}{2}$，得x₀=±2．
当x₀=2时，切线方程为y-1=$-\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．
∴直线x+2y=0与直线x+2y-4=0的距离d=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴（x-a）²+（y-b）²的最小值为$\frac{16}{5}$；
同理求得当x₀=-2时（x-a）²+（y-b）²的最小值为$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查两曲线间距离的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题．