Question

19．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3$\sqrt{3}$，-3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）．则下列叙述错误的是（　　）

• A． $R=6，ω=\frac{π}{30}，φ=-\frac{π}{6}$
• B． 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
• C． 当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减
• D． 当t=20时，$|{PA}|=6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．

解答 解：由题意，R=$\sqrt{27+9}$=6，T=60=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{30}$，
点A（3$\sqrt{3}$，-3）代入可得-3=6sinφ，∵|φ|＜$\frac{π}{2}}$），∴φ=-$\frac{π}{6}$．故A正确；
f（t）=6sin（$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$），当t∈[35，55]时，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$∈[π，$\frac{5}{3}π$]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{1}{6}$π，$\frac{2π}{3}$]，函数y=f（t）单调递减，不正确；
当t=20时，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，P的纵坐标为6，|PA|=$\sqrt{27+81}$=6$\sqrt{3}$，正确，
故选C．

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．