Question

20．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心在原点，F₁，F₂分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF₁⊥x轴，PF₂∥AB，则此椭圆的离心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由已知可得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），又A（0，b），B（a，0），F₂（c，0），由PF₂∥AB，得-$\frac{b}{a}=-\frac{{b}^{2}}{2ac}$，化为b=2c，即可求解．

解答 解：如图所示，把x=-c代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，可得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
又A（0，b），B（a，0），F₂（c，0），
∴k_AB=-$\frac{b}{a}$，${k}_{P{F}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，
∵PF₂∥AB，∴-$\frac{b}{a}=-\frac{{b}^{2}}{2ac}$，化为：b=2c．
∴4c²=b²=a²-c²，即a²=5c²，∴e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：D

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．