Question

13．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
（1）分别求$f（2）+f（\frac{1}{2}），f（3）+f（\frac{1}{3}），f（4）+f（\frac{1}{4}）$的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；
（2）求值：2f（2）+2f（3）+…+2f（2015）+f$（\frac{1}{2}）$+f$（\frac{1}{3}）$+…f$（\frac{1}{2015}）$+$\frac{1}{2^2}$f（2）+$\frac{1}{3^2}$f（3）+…$\frac{1}{{{{2015}^2}}}$f（2015）．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，代入计算，可得结论；
（2）利用$f（x）+\frac{1}{x^2}f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}（{1+\frac{1}{x^2}}）=1$，$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（2）+f（\frac{1}{2}）=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{{{{（\frac{1}{2}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{2}）}^2}}}=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{1}{{1+{2^2}}}=1$，
同理可得$f（3）+f（\frac{1}{3}）=1，f（4）+f（\frac{1}{4}）=1$．---------------------------（4分）
猜想$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$．-------------------------（6分）
（2）∵$f（x）+\frac{1}{x^2}f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}（{1+\frac{1}{x^2}}）=1$，-------------------------（8分）
又由（1）得，$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$，则$\begin{array}{l}2f（2）+2f（3）+…+2f（2015）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2015}）+\frac{1}{2^2}f（2）+\frac{1}{3^2}f（3）+…+\frac{1}{{{{2015}^2}}}f（2015）\\=[f（2）+f（\frac{1}{2}）+f（2）+\frac{1}{2^2}f（2）]+[f（3）+f（\frac{1}{3}）+f（3）+\frac{1}{3^2}f（3）]+…+[f（2015）+f（\frac{1}{2015}）+f（2015）+\frac{1}{{{{2015}^2}}}f（2015）]\end{array}$=$\underbrace{2+2+…+2}_{2014个2}=4028$．-----------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，正确归纳是关键．