Question

设椭圆的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为         __  ．

Answer 1

解析试题分析：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：，即bx+ay-ab=0。
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，∴原点到直线AB的距离为，
∴a²b²=c²（a²+b²），∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），∴a⁴-3a²c²+c⁴=0，∴e⁴－3e²+1=0，
解得e²=，∵0＜e＜1，∴e=。
考点：椭圆的几何性质，点到直线的距离。
点评：中档题，解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，得到原点到直线AB的距离等于半焦距，确定得到a，b，c的关系。