Question

5．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中的单位长度相同．已知点A的极坐标为（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），曲线C在直角坐标系下参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t为参数），曲线C在点A处的切线为l．
（1）求切线l的极坐标方程；
（2）已知点P直角坐标为（-$\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$），过点P任作一直线交曲线C于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程．
（2）OP⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|OP|=$\frac{1}{2}$，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）因为曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t为参数），
所以其普通方程为x²+y²=2，即曲线C为以原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．…（5分）
由于点A（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），即（1，1）在圆上，且该圆过（1，1）点的半径的斜率为1，
所以切线l的斜率为-1，其普通方程为x+y-2=0，
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2；
（2）OP⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|OP|=$\frac{1}{2}$，|AB|的最小值=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程以及极坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．