已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为、,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上去异于点、的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点的坐标为,点的坐标为,利用条件确定与、之间的关系,再结合点在双曲线上这一条件,以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点、的坐标分别为、,结合(2)得到,,引入参数,利用转化为相应的条件,利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式,进而证明点恒在定直线上;证法二是设直线的方程为,将直线的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件进行等价转化为,结合韦达定理化简为,最后利用点在直线上得到,从而消去得到
,进而证明点恒在定直线上.
试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于,解得,
故双曲线的方程为;
(2)设点的坐标为,点的坐标为,易知点,
则,,
,因此点的坐标为,
故直线的斜率,直线的斜率为,
因此直线与直线的斜率之积为,
由于点在双曲线上,所以,所以,
于是有
(定值);
(3)证法一:设点 且过点的直线与双曲线
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知为椭圆:的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为()的直线与椭圆相交于两点,的周长为8,且椭圆C与圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为,求证为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知平面内两点.
(1)求的中垂线方程;
(2)求过点且与直线平行的直线的方程;
(3)一束光线从点射向(Ⅱ)中的直线,若反射光线过点,求反射光线所在的直线方程.
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