Question

14．为了解三明市XX中学高二文科学生的数学水平，从该中学高二文科学生中随机抽取了20名学生的期中考数学成绩，成绩（单位：分；满分：100分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a值，并由这20名学生成绩估计该中学数学期中考的平均成绩；
（Ⅱ）现年段长从成绩在70分以下（不含70分）的学生中选2人谈话，求恰有1人成绩在区间[60，70）内的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a=0.005．由此能估计该中学数学期中考的平均成绩．
（Ⅱ）成绩在70分以下（不含70分）的学生有5人，其中成绩在[50，60）的有2人，成绩在[60，70）的有3人，由此能求出现年段长从成绩在70分以下（不含70分）的学生中选2人谈话，恰有1人成绩在区间[60，70）内的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：
（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，
解得a=0.005．
∴估计该中学数学期中考的平均成绩为：
$\overline{x}$=0.01×10×55+0.015×10×65+0.035×10×75+0.030×10×85+0.01×10×95=76.5．
（Ⅱ）成绩在70分以下（不含70分）的学生有：20×（0.01+0.015）×10=5，
其中成绩在[50，60）的有20×0.01×10=2人，
成绩在[60，70）的有：20×0.015×10=3人，
现年段长从成绩在70分以下（不含70分）的学生中选2人谈话，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
恰有1人成绩在区间[60，70）内包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}$=6，
恰有1人成绩在区间[60，70）内的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质、古典概型的合理运用．